Operazione commutativa

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In matematica, un'operazione binaria ${\displaystyle *}$ definita su un insieme ${\displaystyle S}$ è commutativa se e solo se

${\displaystyle x*y=y*x,\quad \forall x,y\in S.}$

Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione ${\displaystyle *}$ è quindi detta non commutativa.

In particolare, se è vera la proprietà

${\displaystyle x*y=-y*x,\quad \forall x,y\in S.}$

l'operazione ${\displaystyle *}$ è detta anticommutativa.

Due elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ commutano se ${\displaystyle x*y=y*x}$. Quindi l'operazione ${\displaystyle *}$ è commutativa se e solo se due elementi di ${\displaystyle S}$ commutano sempre.

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione (${\displaystyle a+b}$) e la moltiplicazione (${\displaystyle a\times b}$), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:

${\displaystyle 4+5=5+4\qquad }$ (poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9);

${\displaystyle 2\times 3=3\times 2\qquad }$ (poiché entrambe le espressioni valgono 6).

Altre operazioni binarie commutative sono:

• minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi;
• minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;
• addizione di vettori;
• intersezione e unione di insiemi;
• congiunzione logica e disgiunzione inclusiva;
• composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale;
• composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano.

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione (${\displaystyle a-b}$), la divisione (${\displaystyle a/b}$) e l'elevamento a potenza (${\displaystyle a^{b}}$), definite su insiemi opportuni di numeri reali.

Anche la composizione di funzioni (${\displaystyle f(g(x))}$) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali ${\displaystyle f(x)=x+3}$ e ${\displaystyle g(y)=y^{2}}$ non commutano, in quanto

${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+6x+9,}$

${\displaystyle f(g(x))=x^{2}+3.}$

Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}};}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Il prodotto vettoriale, invece, rappresenta un esempio di operazione anticommutativa. Siano ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}$. Si ha:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} .}$

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.

Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.

Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&2&6&4&10&6\\3&6&3&12&15&6\\4&4&12&4&20&12\\5&10&15&20&5&30\\6&6&6&12&30&6\\\end{bmatrix}}}$

e

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&2&1&2&1&2\\1&1&3&1&1&3\\1&2&1&4&1&2\\1&1&1&1&5&1\\1&2&3&2&1&6\\\end{bmatrix}}.}$

• Associatività
• Distributività
• Commutatore (matematica)

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «commutatività»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla commutatività

• commutatività, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• (EN) Eric W. Weisstein, Commutative, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Commutatività, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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