Coefficiente angolare

In geometria analitica il coefficiente angolare, o informalmente pendenza, di una retta nel piano cartesiano è un numero che descrive la direzione e la "ripidezza" della retta. Spesso indicato con ${\displaystyle m}$, stabilisce insieme all'intercetta delle ordinate ${\displaystyle q}$ una e una sola retta nel piano cartesiano, mediante la formula:

Il coefficiente angolare m è uguale alla tangente goniometrica dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse x

${\displaystyle y=mx+q.}$

Definizione

Il coefficiente angolare di una retta non verticale è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta. Per una retta verticale, il coefficiente angolare non è definito in quanto la definizione comporterebbe una divisione per zero.

Partendo dai coefficienti dell'equazione generale di una retta, ${\displaystyle ax+by+c=0}$, se ${\displaystyle b\neq 0}$ (retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto

${\displaystyle m=-{\frac {a}{b}}.}$

Infatti, ponendo ${\displaystyle q=-{\frac {c}{b}}}$, la retta (non verticale) si esprime mediante l'equazione ${\displaystyle y=mx+q}$. Allora siano ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ e ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ due punti distinti della retta:

${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=mx_{1}+q\\y_{2}=mx_{2}+q\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad q=y_{1}-mx_{1}=y_{2}-mx_{2}\quad \Rightarrow \quad m(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})\quad \Rightarrow \quad m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Proprietà

Due rette non verticali sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Il coefficiente angolare di una retta passante per l'origine è la tangente goniometrica dell'angolo ${\displaystyle \alpha }$ (con segno positivo) formato dal semiasse positivo delle ascisse e la parte di retta giacente nel semipiano superiore (ossia il semipiano corrispondente ai punti di ordinata positiva): la retta infatti passa per il punto di coordinate ${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$ (tale punto è l'intersezione della retta con la circonferenza goniometrica), quindi

${\displaystyle m={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha .}$

Poiché due rette in forma generale, ${\displaystyle ax+by+c=0}$ e ${\displaystyle a'x+b'y+c'=0}$, sono perpendicolari esattamente quando ${\displaystyle aa'+bb'=0}$, ne segue che due rette (non verticali) ${\displaystyle y=mx+q}$ e ${\displaystyle y=m'x+q'}$ sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è

${\displaystyle mm'=-1.}$

Questa condizione può essere riscritta come ${\displaystyle m'=-{\frac {1}{m}}}$, ed espressa dicendo che ${\displaystyle m'}$ è l'antireciproco (opposto del reciproco) di ${\displaystyle m}$.

Coefficiente angolare e derivata

Data una retta descritta come grafico della funzione ${\displaystyle f(x)=mx+q}$, la derivata della funzione è proprio il coefficiente angolare della retta: ${\displaystyle f'(x)=m}$.

Note

1. ^ (EN) C. Clapham e J. Nicholson, Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient (PDF), su web.cortland.edu, Addison-Wesley, 2009, p. 348. URL consultato l'11 febbraio 2024 (archiviato dall'url originale il 29 ottobre 2013).

Voci correlate

• Derivata
• Grafico di una funzione
• Intercetta
• Retta nel piano cartesiano
• Tangente (matematica)

Altri progetti

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• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «coefficiente angolare»

Collegamenti esterni

• (EN) slope, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Slope, su MathWorld, Wolfram Research.

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