Algebra elementare

L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

• consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come ${\displaystyle a+b=b+a}$ per ogni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
• consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle 3\cdot x+2=10}$);
• consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono ${\displaystyle x}$ biglietti, allora il profitto sarà ${\displaystyle 10x-5}$ euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono ${\displaystyle a+3}$ e ${\displaystyle x^{2}-3}$.

Un'equazione è una proposizione aperta, contenente un'uguaglianza, che può essere vera o falsa in funzione del valore attribuito alle variabili incognite in essa presenti. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle incognite (per esempio ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza, cioè rendono il primo membro uguale al secondo: ${\displaystyle x^{2}-1=4}$. Essi sono detti soluzioni dell'equazione.

Esempi di equazioni

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come

${\displaystyle 2x+3=10.}$

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della ${\displaystyle x}$. Nell'esempio precedente, se si sottrae 3 da entrambi i membri, si ottiene

${\displaystyle 2x=7}$

e dividendo entrambi i membri per 2, si ottiene la soluzione

${\displaystyle x={\frac {7}{2}}.}$

Equazioni come

${\displaystyle x^{2}+3x=5}$

sono note come equazioni quadratiche e per esse esiste una semplice formula risolutiva per trovare tutte le soluzioni.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

${\displaystyle (x-1)^{2}=0y.}$

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che ${\displaystyle x=1,}$ ma non possiamo dedurre quale sia il valore di ${\displaystyle y.}$ Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y,}$ avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}}$

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\4x-2y=2\end{cases}}}$

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per 2 (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

${\displaystyle 8x=16.}$

In questo modo abbiamo ottenuto un'equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo ${\displaystyle x=2.}$

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

${\displaystyle 4x+2y=14.}$

Sostituiamo 2 al posto di ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle 4(2)+2y=14.}$

Semplifichiamo

${\displaystyle 8+2y=14,}$

${\displaystyle 2y=6.}$

E risolviamo per ${\displaystyle y,}$ ottenendo 3. La soluzione di questo sistema di equazioni è ${\displaystyle x=2}$ e ${\displaystyle y=3,}$ ossia la coppia ${\displaystyle (2,3).}$

Leggi di algebra elementare (su un campo)

• L'addizione è un'operazione commutativa.
  • La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
  • Sottrarre equivale ad aggiungere l'opposto:

${\displaystyle a-b=a+(-b).}$

• La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
  • La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
  • Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:

${\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right).}$

• Se ${\displaystyle ab=0,}$ allora ${\displaystyle a=0}$ o ${\displaystyle b=0}$ (legge di annullamento del prodotto).
• L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
  • L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice.
    • Esempi: se ${\displaystyle 3^{x}=10}$ allora ${\displaystyle x=\log _{3}10}$. Se ${\displaystyle x^{2}=10,}$ allora ${\displaystyle x=10^{1/2}}$.
  • La radice quadrata di -1 è i.
• La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: ${\displaystyle c(a+b)=ca+cb}$.
• La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: ${\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}}$.
• Come combinare gli esponenti: ${\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}.}$
• Se ${\displaystyle a=b}$ e ${\displaystyle b=c,}$ allora ${\displaystyle a=c}$ (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
• ${\displaystyle a=a}$ (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
• Se ${\displaystyle a=b,}$ allora ${\displaystyle b=a}$ (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
• Se ${\displaystyle a=b}$ e ${\displaystyle c=d,}$ allora ${\displaystyle a+c=b+d}$.
  • Se ${\displaystyle a=b,}$ allora ${\displaystyle a+c=b+c}$ per ogni ${\displaystyle c,}$ per via della riflessività dell'uguaglianza.
• Se ${\displaystyle a=b}$ e ${\displaystyle c=d,}$ allora ${\displaystyle ac}$ = ${\displaystyle bd}$.
  • Se ${\displaystyle a=b,}$ allora ${\displaystyle ac=bc}$ per ogni ${\displaystyle c}$ per via della riflessività dell'uguaglianza.
• Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
• Se ${\displaystyle a>b}$ e ${\displaystyle b>c,}$ allora ${\displaystyle a>c}$ (transitività della disuguaglianza).
• Se ${\displaystyle a>b,}$ allora ${\displaystyle a+c>b+c}$ per ogni ${\displaystyle c.}$
• Se ${\displaystyle a>b}$ e ${\displaystyle c>0,}$ allora ${\displaystyle ac>bc}$.
• Se ${\displaystyle a>b}$ e ${\displaystyle c<0,}$ allora ${\displaystyle ac<bc}$.

Note

1. ^ Helmut Seiffert, 1, in Le basi della matematica moderna - numeri e insiemi, Arnoldo Mondadori, marzo 1976, pp. 40-41.

Voci correlate

• Aritmetica
• Algebra
• Monomio
• Binomio
• Trinomio
• Polinomio
• Prodotto notevole
• Distributività
• Frazione (matematica)
• Campo (matematica)

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