Insieme stellato

In matematica, un insieme ${\displaystyle S}$ nello spazio euclideo Rⁿ si dice stellato (o stellato-convesso, o ancora stellare) se esiste almeno un punto ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle S}$ tale che per tutti i punti ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle S}$ il segmento da ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle x}$ è contenuto in ${\displaystyle S}$. Un tale ${\displaystyle x_{0}}$ si dice centro e se l'insieme è aperto, allora il centro non è unico. Cosa che invece non accade per gli insiemi chiusi, dove il centro può anche essere unico, ad esempio se si considera l'unione dei due assi nel piano (che è chiuso) l'unico centro è l'origine.

Un esempio di insieme stellato.

Questa definizione è generalizzabile per ogni spazio vettoriale reale o complesso. In uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su Rⁿ un insieme ${\displaystyle A}$ si dice stellato se esiste almeno un punto ${\displaystyle x\in A}$ tale che per ogni altro punto ${\displaystyle y\in A}$ il segmento che li congiunge, cioè l'insieme ${\displaystyle \{x+t(y-x):t\in [0,1]\}}$, è interamente contenuto in ${\displaystyle A}$.

Sottoinsieme stellato ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Ogni punto della porzione in viola è un centro e l'insieme dei centri è un convesso.

Intuitivamente, se si immagina ${\displaystyle S}$ come una regione circondata da un recinto, ${\displaystyle S}$ è un insieme stellato se si può trovare un punto di vista ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle S}$ dal quale qualunque punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle S}$ è visibile (cioè compreso nella linea dello sguardo).

Un particolare caso di insieme stellato è quello di insieme convesso, per il quale vale una condizione più forte: tutti i segmenti aventi per estremi una qualsiasi coppia di punti ${\displaystyle x,y\in A}$ sono interamente contenuti nell'insieme. Dunque un convesso è uno stellato che ha un centro in ogni suo punto.

Un campo irrotazionale definito su un dominio stellato è conservativo.

Esempi

• Qualunque linea o piano in Rⁿ è un dominio stellare.
• Una linea o piano di cui si esclude un punto non sono domini stellari.
• Se A è un insieme in Rⁿ, l'insieme

${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$

ottenuto connettendo qualunque punto in A all'origine è un dominio stellare.

Proprietà

Un insieme stellato non è necessariamente convesso in senso ordinario.

• Ogni insieme convesso è un insieme stellato, mentre non è valido il viceversa.
• Un insieme è convesso se e solo se è un insieme stellato rispetto a tutti i punti dell'insieme.
• La chiusura di un insieme stellato è un insieme stellato, ma l'interno di un insieme stellato non è necessariamente un insieme stellato.
• L'unione e l'intersezione di due insiemi stellati non sono necessariamente un insieme stellato.
• Una figura a forma di stella o croce è un insieme stellato, ma non è convesso.
• Un aperto stellato non vuoto di Rⁿ è diffeomorfo a Rⁿ.
• Ogni insieme stellato è uno spazio contraibile, attraverso un'omotopia che è una retta. In particolare, quindi, ogni insieme stellato è semplicemente connesso.

Bibliografia

• Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-28763-4.
• C.R. Smith, A characterization of Star-shaped sets, American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (aprile 1968), p. 386.

Voci correlate

• Insieme convesso
• Rotore (matematica)
• Campo vettoriale conservativo
• Poligono stellato

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