Matrice antisimmetrica
In matematica una matrice antisimmetrica o emisimmetrica è una matrice quadrata la cui trasposta è anche la sua opposta, ossia:
In termini dei suoi elementi , per ogni e vale:
Per esempio, la matrice:
è antisimmetrica.
Proprietà
Diagonale principale
Se le entrate della matrice appartengono a un campo con caratteristica diversa da 2, tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero in quanto per definizione . In particolare, una matrice antisimmetrica ha traccia nulla.
Determinante
Se è una matrice antisimmetrica di ordine
il suo determinante soddisfa:
In particolare, se è dispari il determinante è zero. Se
è pari, invece, il determinante di
è il quadrato di un polinomio
(lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di
:
Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale sono numeri immaginari puri, poiché se
è un autovalore associato all'autovettore
, cosicché
, allora
da cui deduciamo che , in altre parole
è immaginario puro, diciamo
con
. Ora, ad ogni tale autovalore
corrisponde l'autovalore coniugato
, con la stessa molteplicità, poiché se
, allora
. Pertanto
, essendo il prodotto degli autovalori (ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità), se non è zero è il prodotto dei numeri reali positivi
.
Matrici simmetriche e antisimmetriche
Per ogni matrice quadrata , la matrice
è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice
è una matrice simmetrica.
È possibile (se ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere
come:
ossia come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di in questo caso è:
Teoria spettrale
Se una matrice antisimmetrica ha un autovalore
, allora ha anche un autovalore
. Ossia, se:
allora , quindi:
In particolare, gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie , eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore nullo.
Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma , con
reale.
Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale
(con
), ovvero in modo che
sia di una delle due forme:
con autovalori (più un autovalore
se
è dispari).
Forme alternanti
Una forma alternante (o antisimmetrica) su uno spazio vettoriale
sopra un campo
(di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare
tale che:
Ogni forma alternante viene rappresentata da una matrice antisimmetrica
su una base di
,
, e viceversa.
Rotazioni infinitesimali
Le matrici antisimmetriche di ordine con elementi in un campo
sono uno spazio vettoriale su
di dimensione
, che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale
nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da "rotazioni infinitesimali".
Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie del gruppo di Lie
. La parentesi di Lie su di esso è il commutatore
, che è antisimmetrico:
Inoltre, la matrice esponenziale di una matrice antisimmetrica
è una matrice ortogonale:
Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di , il gruppo ortogonale speciale
, e ogni rotazione
ha determinante
. In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante
) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.
Bibliografia
- (EN) S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces , Acad. Press (1978)
Voci correlate
- Glossario sulle matrici
- Matrice simmetrica
- Matrice hermitiana
- Matrice antihermitiana
- Matrice normale
- Matrice trasposta
- Matrice simplettica
- Quoziente di Rayleigh
Collegamenti esterni
- (EN) Matrice antisimmetrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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