Matrice identità

In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è un caso particolare di matrice binaria quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con ${\displaystyle I}$ oppure con ${\displaystyle I_{n}}$, dove ${\displaystyle n}$ è il numero di righe della matrice.

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad \cdots \quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Proprietà

• La proprietà fondamentale di ${\displaystyle I_{n}}$ è che:

${\displaystyle AI_{n}=A\qquad I_{n}B=B}$

per ogni matrice ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.

• In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
• La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore ${\displaystyle e_{i}}$ della base canonica dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

Notazioni

Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

${\displaystyle I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,\dots ,1)}$

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}$

Anello delle matrici

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici ${\displaystyle n\times n}$ a valori in un campo fissato ${\displaystyle K}$.

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ formato da tutte le matrici invertibili ${\displaystyle n\times n}$ a valori in ${\displaystyle K}$.

Trasformazioni lineari

Sia ${\displaystyle K}$ un campo. Ogni matrice quadrata ${\displaystyle A}$ induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale ${\displaystyle K^{n}}$ in sé, definita nel modo seguente:

${\displaystyle x\mapsto Ax}$

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

Bibliografia

• (EN) Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.
• (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
• (EN) Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.

Voci correlate

• Funzione identità
• Identità (matematica)
• Matrice quadrata
• Risoluzione all'identità

Collegamenti esterni

• (EN) identity matrix, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Identity Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) identitymatrix, in PlanetMath.

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