Numeri algebrici

In matematica, un numero algebrico è un numero reale o complesso che è soluzione di un'equazione polinomiale della forma:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0,}$

dove ${\displaystyle n>0}$, ogni ${\displaystyle a_{i}}$ è un intero, e ${\displaystyle a_{n}}$ è diverso da ${\displaystyle 0}$.

In una definizione equivalente si richiede che i coefficienti del polinomio siano numeri razionali. È sufficiente moltiplicare l'identità per un multiplo comune a tutti i denominatori dei coefficienti per ricondursi al caso intero.

Esempi di numeri algebrici

• Tutti i numeri razionali sono algebrici perché ogni frazione ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$ è soluzione di ${\displaystyle bx+a=0}$; di conseguenza anche gli interi sono algebrici: tutti i numeri interi ${\displaystyle -k}$ sono radici dell'equazione ${\displaystyle x+k=0}$.
• Alcuni numeri irrazionali come ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (la radice quadrata di 2) e ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$(la radice cubica di 3 divisa per 2) sono algebrici perché radici, rispettivamente, di ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ e ${\displaystyle 8x^{3}-3=0}$. In generale sono algebrici i numeri razionali e irrazionali definibili tramite radicali e operazioni con numeri interi, anche se non tutte le soluzioni delle equazioni possono essere espresse in questo modo (conseguenza in parte del teorema di Abel-Ruffini). Da notare che gli irrazionali π e e non sono però algebrici: sono cioè trascendenti. In generale, non tutti i reali sono algebrici (come d'altronde non tutti gli algebrici sono reali). Si può affermare che i reali algebrici, ovvero l'intersezione tra algebrici e reali, è formata dagli irrazionali algebrici e dai razionali.
• L'unità immaginaria (${\displaystyle i}$) e il suo opposto (${\displaystyle -i}$), soluzioni dell'equazione ${\displaystyle x^{2}+1=0}$, e in generale tutti i numeri complessi ${\displaystyle z=a+ib}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ razionali, sono algebrici.

Grado di un numero algebrico

Se un numero algebrico soddisfa un'equazione come quella data sopra con un polinomio di grado ${\displaystyle n}$ e nessuna equazione di grado inferiore, allora si dice che il numero è un numero algebrico di grado ${\displaystyle n}$.

Per ogni intero ${\displaystyle n}$ esistono degli algebrici di grado ${\displaystyle n}$: infatti, attraverso il criterio di Eisenstein, è possibile costruire polinomi irriducibili a coefficienti razionali di grado ${\displaystyle n}$ qualunque: esso sarà il polinomio minimo di qualche algebrico, che sarà quindi di grado ${\displaystyle n}$.

Cardinalità dell'insieme dei numeri algebrici

Quello dei numeri algebrici è un insieme numerabile: infatti l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in numero finito. L'insieme di tutte le soluzioni, essendo unione di una famiglia numerabile di insiemi finiti, è a sua volta numerabile.

Numeri trascendenti

Lo stesso argomento in dettaglio: Numero trascendente.

Se un numero reale (o complesso) non è un numero algebrico, viene chiamato numero trascendente. In conseguenza di quanto già detto per gli algebrici, la cardinalità dei numeri trascendenti è pari a quella del campo di partenza.

Il campo dei numeri algebrici

Le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di due numeri algebrici generano ancora numeri algebrici, pertanto essi formano un campo, indicabile con ${\displaystyle \mathbb {A} }$. Si può dimostrare che se ammettiamo che i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ siano numeri algebrici qualsiasi, allora ogni soluzione dell'equazione sarà ancora un numero algebrico. Ciò può essere espresso in altre parole dicendo che il campo dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Infatti, è il più piccolo campo algebricamente chiuso che contiene i numeri razionali, ed è quindi chiamato la chiusura algebrica dei razionali.

Numeri definiti da radicali

Tutti i numeri che possono essere scritti usando un numero finito di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radici ${\displaystyle n}$-esime (dove ${\displaystyle n}$ è un intero positivo) sono anche algebrici. L'inverso, tuttavia, non è vero: vi sono numeri algebrici che non possono essere scritti in questa maniera. Si tratta delle soluzioni delle equazioni polinomiali di grado superiore al quarto. Questo è un risultato della teoria di Galois.

Interi algebrici

Un numero algebrico che soddisfa un'equazione polinomiale di grado ${\displaystyle n}$ con ${\displaystyle a_{n}=1}$ (cioè, un polinomio monico a coefficienti interi), è chiamato intero algebrico. Esempi di interi algebrici sono ${\displaystyle 3{\sqrt {2}}+5}$ e ${\displaystyle 6i-2}$ e ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$.

Somma, differenza e prodotto di interi algebrici sono di nuovo interi algebrici, che implica che gli interi algebrici formano un anello. Il nome intero algebrico è dovuto al fatto che gli unici numeri razionali appartenenti a questa classe sono gli interi.

Se ${\displaystyle K}$ è un campo numerico, il suo anello di interi è il sottoanello degli interi algebrici in ${\displaystyle K}$.

Classi speciali di numeri algebrici

• Intero gaussiano
• Intero di Eisenstein
• Irrazionale quadratico
• Unità fondamentale
• Radice dell'unità
• Numero di Pisot-Vijayaraghavan
• Numero di Salem

Voci correlate

• Numeri reali
• Estensione algebrica
• Teorema di Lindemann-Weierstrass

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Collegamenti esterni

• Numero algebrico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) algebraic number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Algebraic Numbers, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Algebraic Number, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Algebraic number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Numeri algebrici su progettomatematica.dm.unibo.it

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