Polinomio minimo

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

Data una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ a valori in un certo campo ${\displaystyle \Bbbk }$, si considera l'insieme:

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}=\{p(x)\in {\mathbb {k}}[x]\ |\ p(A)=0\}}$

di tutti i polinomi che si annullano in ${\displaystyle A}$. Questo insieme risulta essere un ideale (detto ideale dei polinomi) nell'anello ${\displaystyle \Bbbk [x]}$ di tutti i polinomi con coefficienti in ${\displaystyle \Bbbk }$.

L'anello ${\displaystyle \Bbbk [x]}$ è un anello euclideo (è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto) di conseguenza, è un anello ad ideali principali e quindi ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare:

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}=(m(x))}$

è generato da un elemento ${\displaystyle m(x)}$. Tale elemento è unico a meno di moltiplicazione per una costante non nulla ed è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine ${\displaystyle x^{n}}$ con ${\displaystyle n=\deg(m(x))}$). Si definisce quindi il polinomio minimo di ${\displaystyle A}$ come il polinomio ${\displaystyle m(x)}$.

Dato un endomorfismo:

${\displaystyle T:V\to V}$

di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su ${\displaystyle \Bbbk }$ di dimensione finita, il polinomio minimo ${\displaystyle m(x)}$ di ${\displaystyle T}$ è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale:

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\{p(x)\in \Bbbk [x]\ |\ p(T)=0\}}$

formato da tutti i polinomi che annullano ${\displaystyle T}$. L'endomorfismo ${\displaystyle p(T)}$ è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi, infatti, dato uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ definito su un campo ${\displaystyle \Bbbk }$ e di dimensione ${\displaystyle n}$, vi è l'isomorfismo canonico ${\displaystyle (\operatorname {End} (V),\circ )\cong (M_{n}(\Bbbk ),\cdot )}$, dove ${\displaystyle M_{n}(\Bbbk )}$ è l'insieme delle matrici di ordine ${\displaystyle n}$ e aventi come entrate elementi del campo ${\displaystyle \Bbbk }$.

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se ${\displaystyle p}$ è il polinomio caratteristico di una matrice ${\displaystyle A}$ allora ${\displaystyle p(A)=0}$. Quindi ${\displaystyle p}$ è un elemento dell'ideale ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$, e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico ${\displaystyle p(x)}$ si decompone in fattori primi come:

${\displaystyle p=p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}}}$

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come:

${\displaystyle p=p_{1}^{l_{1}}\cdots p_{k}^{l_{k}}}$

dove:

${\displaystyle 1\leqslant l_{j}\leqslant i_{j}\ \forall j=1,\ldots ,k}$

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo ${\displaystyle \Bbbk }$.

In base al teorema di diagonalizzabilità, si sa che una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo ${\displaystyle \Bbbk }$ e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica. Ne consegue che una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte radici nel campo ${\displaystyle \Bbbk }$ di molteplicità uguale a ${\displaystyle 1}$.

Il polinomio minimo di una matrice ${\displaystyle \lambda I}$ ottenuta moltiplicando uno scalare ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ per la matrice identità ${\displaystyle I}$ è pari a:

${\displaystyle m(x)=x-\lambda }$

D'altra parte, se ${\displaystyle m}$ è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo ${\displaystyle \lambda I}$.

Il polinomio minimo della matrice diagonale:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}}$

è

${\displaystyle m(x)=(x-1)(x-2)(x-3)}$

mentre il polinomio caratteristico è:

${\displaystyle p(x)=(x-1)^{2}(x-2)(x-3)}$

Dato un blocco di Jordan di ordine ${\displaystyle n}$ relativo all'autovalore ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}\lambda &1&\cdots &0\\0&\lambda &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&\cdots &\lambda \end{pmatrix}}}$

Il suo polinomio minimo è:

${\displaystyle m(x)=(x-\lambda )^{n}}$

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo ${\displaystyle T}$ tale che:

${\displaystyle T\circ T=T}$

Una proiezione è sempre diagonalizzabile. Infatti, prendendo:

${\displaystyle p(x)=x^{2}-x=x(x-1)}$

vale ${\displaystyle p(T)=0}$. Ne segue che ${\displaystyle p}$ appartiene all'ideale ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}}$, ed è quindi diviso dal polinomio minimo ${\displaystyle m}$ di ${\displaystyle T}$. Poiché ${\displaystyle p}$ ha due radici ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$ di molteplicità ${\displaystyle 1}$, anche ${\displaystyle m}$ ha radici di molteplicità ${\displaystyle 1}$, e quindi ${\displaystyle T}$ è diagonalizzabile.

Una involuzione è un endomorfismo ${\displaystyle T}$ tale che:

${\displaystyle T^{2}=\operatorname {id} }$

Analogamente, ${\displaystyle T}$ è radice del polinomio ${\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)}$ che ha due radici, che sono distinte se la caratteristica del campo è diversa da ${\displaystyle 2}$. Quindi ${\displaystyle T}$ è diagonalizzabile.

• (EN) David S. Dummit e Richard Foote, Abstract Algebra, 3nd ed, Englewood Cliffs (New Jersey), Prentice-Hall, 2003, ISBN 978-04-71-43334-7.
• (EN) Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, 2nd ed, New York, Wiley, 1975, ISBN 978-04-71-01090-6. §6.7
• (EN) Nathan Jacobson, Basic Algebra, Mineola (New York), Dover Publications, 2009, ISBN 978-04-86-47189-1. §3.10

• Diagonalizzabilità
• Forma canonica di Jordan
• Matrice quadrata
• Polinomio caratteristico
• Polinomio monico
• Spazio vettoriale
• Trasformazione lineare

• (EN) Polinomio minimo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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